Question

高一必修一数学题

若函数f(x)的定义在(0,+无穷)上的增函数，且对于任意x，y∈（0，+无穷）都满足f（x/y)=f(x)-f(y)。
（1）求f（1）的值。（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3)-f(1/3)＜1

Answer 1

1.
令 x=y=1
代入 f（x/y)=f(x)-f(y)
得 f(1)=f(1)-f(1)=0

2.
f（x+3)-f(1/3)=f(3x+9)
不等式f（x+3)-f(1/3)＜1
f（x+3)-f(1/3)＜f（6）
f(3x+9)＜f（6）
因为函数f(x)的定义在(0,+无穷)上的增函数
所以 3x+9<6
再根据定义域
x+3>0

所以 答案是 -3<x<-1

Answer 2

令x=y=1,可得f(1)=0
原不等式化为f(3x+9)<f(6)且f(x)是增函数可得3x+9<6
所以x<-1,因为x+3>0,所以x>-3,所以-3<x<-1

Answer 3

（1）令y=x.f(x/x)=f(1)=f(x)-f(x)=0
（2）令x=1,f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y),则原不等式变为：f(x+3)+f(3)<f（6）
即f(x+3)<f(2),由于在（0，+无穷）是增函数
所以 x+3<2,x<-1 又因为x+3>0,所以x>-3,所以-3<x<-1