Question

如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点． 求证：（1）DE∥BC；（2）

如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点． 求证：（1）DE∥BC；（2） ．





Answer 1

证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G； ∵BE⊥AG， ∴∠AEB=∠BEG=90°； ∵BE平分∠ABG， ∴∠ABE=∠GBE； ∴∠BAE=∠BGE； ∴△ABG是等腰三角形； ∴AB=BG，E是AG中点；同理可得：AC=CF，D是AF中点； ∴DE是△AFG的中位线； ∴DE∥BC． （2）由（1）知DE是△AFG的中位线， ∴DE= FG； ∵FG=BG+CF﹣BC，且AB=BG，AC=CF； ∴FG=AB+AC﹣BC，即DE= （AB+AC﹣BC）．