Question

如图，二次函数y=x 2 +px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为

如图，二次函数y=x 2 +px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为 。 （1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由点C的坐标为（0，-1），得OC=1， 又∵△ABC的面积为 ， ∴ ，即 ， 由抛物线与y轴交于（0，-1）， 得y=x 2 +px+g（p<0）中的q=-1， 则当y=0时，0=x 2 +px-1，设它的两个根为x 1 、x 2 ， 则x 1 +x 2 =-p，x 1 x 2 =-1，且A、B两点的坐标为（x 1 ，0）、（x 2 ，0）， 由直角坐标系上两点间的距离公式可得x 2 -x 1 =AB= ， ∴ ， ∴x 1 2 +x 2 2 -2x 1 x 2 = ， ∴x 1 2 +x 2 2 +2x 1 x 2 -4x 1 x 2 = ， ∴（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 = ，即p 2 +4= ，解得 ， ∵p<0，∴p= ， ∴该抛物线的关系式为 ；
（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图 由 得x 1 =2， ， ∴ ， 连接AD， 在△ABC的外接圆中， ∵ ， ∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB， ∴△AOD∽△COB， ∴ ， ∴ ， ∴DO=1， ∴CO=DO=1， 又∵AB⊥CD， ∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径， ∴△ABC外接圆的直径为 ， ∴直线 与△ABC的外接圆相切， ∴ ；
（3）存在 ∵AB是△ABC外接圆的直径， ∴∠ACB=90°，这时抛物线上必有点D，且当AD∥BC或BD∥AC时使四边形ACBD为直角梯形， 当AD∥BC时，可求得直线BC的关系式为 ， ∴直线AD的关系式为 ， 则它与抛物线 的交点坐标为 ， 此时点D的坐标为 ， 当BD∥AC时，可求直线AC的关系式为y=-2x-1， ∴直线BD的关系式为y=-2x+4， 则它与抛物线 的交点坐标为 ， 此时点D的坐标为 ， ∴当点D在 或 的位置时，四边形ACBD为直角梯形。