Question

（2014?镇江一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，点B在⊙O上，BP的延

（2014?镇江一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，点B在⊙O上，BP的延长线交直线l于点C，连结AB，AB=AC．（1）直线AB与⊙O相切吗？请说明理由；（2）若PC=25，求⊙O的半径；（3）线段BC的中点为M，当⊙O的半径为r为多少时，直线AM与⊙O相切．

Answer 1

（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：连接OB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°，
而∠APC=∠OPB=∠OBP，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；
在Rt△ACP中，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
在Rt△AOB中，AB²=PO²-OB²=5²-r²，
∵AC=AB，
∴（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，解得r=3，
即⊙O的半径为3；
（3）作OT⊥AM于T，如图，
当OT=OB时，AM与⊙相切，
∴∠OAB=∠OAT，
∵AB=AC，M为线段BC的中点，
∴∠CAM=∠MAB，
而∠MAB=∠OAB+∠OAT，
∴∠CAM=2∠MAO，
∵∠CAO=90°
∴∠OAT=30°，
∴OT=

1

2

OA=

5

2

，
即⊙O的半径为r为

5

2

时，直线AM与⊙O相切．