Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．（1）求

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AB=2，连接BD，求BD长．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
∴∠FAC=∠ACE=120°，
∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，
∴∠DAC=∠DCA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=CD=AC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

 （2）解：∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，
∴OA=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴OB=

AB2?OA2

=

3

，
∴BD=2OB=2

3

．