Question

（2014?南昌模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB

（2014?南昌模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB＝2，F是BC的中点．（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC；（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A-CDG的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC=90°，即AC⊥DA
∵PA⊥平面ABCD，DA?平面ABCD，∴PA⊥DA，
又∵AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，
则△PAD中，GH平行且等于

1

2

AD
∵平行四边形ABCD中，FC平行且等于

1

2

AD，
∴GH∥FC且GH=FC，四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，
∵FH?平面PAF，CG?平面PAF，
∴CG∥平面PAF，即G为PD中点时，CG∥平面PAF．
设点G到平面ABCD的距离为d，则
由G为PD中点且PA⊥平面ABCD，得d=

1

2

PA＝

1

2

，
又∵Rt△ACD面积为

1

2

×1×1=

1

2

∴三棱锥A-CDG的体积V_A-CDG=V_G-CDA=

1

3

S_△ACD×

1

2

=

1

12

．