Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，且|AB|=322，求：直线l的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，
M为椭圆短轴端点且△MF₁F₂为直角直角三角形．
∴

1 a2 + e2 b2 ＝1 e＝ c a a2＝b2+c2 b＝c

，解得b=c=1，a=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．
（2）由（1）得椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1，
∵第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，∴P（1，

2

2

）
由题意，当直线l垂直x轴时，不合题意，
设不过原点的直线l的方程为y=kx+t（t≠0），
交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2 2 +y2＝1 y＝kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
△=（4kt）²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8t²+8＞0，
x1+x2＝?

4kt

1+2k2

，y1+y2＝k(x1+x2)+2t＝

2t

1+2k2

，
x1x2＝

2t2?2

1+2k2

，
直线OP方程为y=

2

2

x，且OP直线过线段AB中点，
∴

2t

1+2k2

＝

2

2

×

?4kt

1+2k2

，解得k=-

2

2

，
∴|AB|=

1+k2

?

(x1+x2)2?4x1x2

=

(1+k2)(4?2t2)

=

3 2 (4?2t2)

，
由题意|AB|=