Question

已知f（x）=-x2+2ax+1-a，（Ⅰ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值；（Ⅱ）若方程f（x

已知f（x）=-x2+2ax+1-a，（Ⅰ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=0的根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1，2）内，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=-x²+2ax+1-a=-（x-a）²+a²-a+1 的图象开口向下，且对称轴为x=a，
当a＜0时，函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，故当x=0时，函数取得最大值为1-a=2，求得a=-1．
当0≤a≤1时，函数的最大值为 a²-a+1=2，求得a=

1± 5

2

 （舍去）．
当a＞1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为a=2．
综上可得，a=-1，或a=2．
（Ⅱ）若方程f（x）=0的根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1，2）内，
则有

f(?1)＝?3a＜0 f(0)＝1?a＞0 f(1)＝a＞0 f(2)＝3a?3＜0

，求得 0＜a＜1．