Question

高数证明不等式的一道题！

当0<x<派/2时，2x/派<sinx<x-x^3/3!+x^5/5!
后一个不等号会证明，只求前一个的解法！！应该利用的是函数的单调性和极值。

Answer 1

另y=sinx-2x/π
y的导数为cosx-2/π
另y=0，即cosx-2/π=0
所以x=arccos2/π，由三角函数知这个值在（0，π/2）之间
故在（0，arccos2/π）之间y是递增的，（arccos2/π，π/2）y是递减的，而x=0时y=0，x=π/2时，同样y=0，所以在（0，π/2）之间y大于0，故sinx-2x/π大于0，即sinx大于2x/π

Answer 2

设f(x)= sinx,0<x<派/2。
f'(x) = cosx, f''(x) = -sinx < 0,
所以f(x) 是凹函数， 即 f(x) > L(x), 其中， L(x) 是过 函数两个端点 （0，0），（pi/2, 1) 的直线。 L（x) = 2/pi * x.

所以 sin x > 2x/pi