Question

f(x)=x^2+bx+c,集合a={x|f(x)=x},b={x|f(x-1)=x+1},若集合a={2},求集合b

Answer 1

因为a={2}={x|f(x)=x}
所以 方程f(x)=x 也即 x^2+(b-1)x+c=0 有两相同的根x1=x2=2 ;
根据韦达定理: x1+x2=-(b-1)=4 ; x1x2=c=4
b=-3; c=4
所以f(x)=x^2-3x+4
f(x-1)=(x-1)^2-3(x-1)+4=x^2-5x+8
方程f(x-1)=x+1化为: x^2-5x+8=x+1 , x^2-6x+7=0
解得 x1 =3+√2
x2=3-√2

集合b={3-√2, 3+√2 }

Answer 2

f(x)=x只有2这个根，所以对称轴x=-b+1/2=2，所以b=-3，将2带入方程中有
4-6+c=2，所以c=4，所以f（x）=x^2-3x+4
所以B为（x-1）^2-3（x-1）+4=x+1的根，解得x=3+根号2或x=3-根号2
所以B={3+根号2，3-根号2}。