Question

f（x）在（-∞+∞）上可导,f(0)=0 |f'(x)|≤f(x) 证明 f(x)≡0

f（x）在（-∞+∞）上可导,f(0)=0 |f'(x)|≤f(x) 证明 f(x)≡0

Answer 1

0≤|f'(x)|≤f(x)，f(x)在0点处导数左右导数相等，必须为0，

简单写一下证明
设存在x>0使得f(x)=/=0
不妨设f(x)>0
取a=max{y|f(y)=0,0<=y<x}(由于f是连续函数这个最大值存在)
设g(y)=ln(f(y))则g在区间(a,x)上可导且满足|g'|<=1
因此对(a,x)中的y,z有|g(y)-g(z)|<=|y-z|
这与lim g(y)=负无穷矛盾
y->a+
所以对所有x>0有f(x)=0
同样x<0也有f(x)=0