Question

如图1，已知直线l的解析式为 y= 4 3 x+4 ，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．点C从点O出发沿OA

如图1，已知直线l的解析式为 y= 4 3 x+4 ，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．点C从点O出发沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点D从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点C、D同时出发，当点C到达点A时同时停止运动．伴随着C、D的运动，EF始终保持垂直平分CD，垂足为E，且EF交折线AB-BO-AO于点F．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点C、D的运动时间是t秒（t＞0）．①用含t的代数式分别表示线段AD和AC的长度；②在点F运动的过程中，四边形BDEF能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．（可利用备用图解题）

Answer 1

（1）直线的解析式为 y= 4 3 x+4 ， 当x=0时，得出y=4，当y=0时，得出x=-3， 所以A（-3，0），B（0，4）； （2）①因为C，D均是每秒1个单位的速度匀速运动， 所以AD=t，OC=t． 又∵A（-3，0）， ∴OA=3，∴AC=3-t， 则AD=t，AC=3-t； ②能． 在Rt△ABE中，OA=3，OB=4， 根据勾股定理得： AB= O A 2 +O B 2 = 3 2 + 4 2 =5 ， （i）如图1，当CD⊥AB时， ∵EF⊥CD， ∴EF ∥ AB， ∴四边形BDEF是直角梯形， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADC=∠A0B=90°， 又∵∠BAO=∠CAD， ∴△ADC ∽ △AOB，又AD=t，AC=3-t， ∴ AD AO = AC AB ，即 t 3 = 3-t 5 ， 解得 t= 9 8 ； （ii）如图2，当CD ∥ BO时，EF⊥BO，∴四边形BDEF是直角梯形， 此时∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠AOB=90°，又∠DAC=∠BAO， ∴△ACD ∽ △AOB，又AB=t，AC=3-t， ∴ AD AB = AC AO ，即 t 5 = 3-t 3 ， 解得 t= 15 8 ． 综上所得，当 t= 9 8 或 t= 15 8 时，四边形BDEF是直角梯形．