如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBnCn是n个相同的等腰直
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBnCn是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C1、C2、...
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBnCn是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C1、C2、C3、…、Cn都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平行于A1C1，A3C3经过点B2且平行于A2C2，…，AnCn过点Bn-1且平行于An-1Cn-1，点Bn落在AB边，且A1C=2CC1．（1）如图1，当n=1时，求等腰直角三角形的直角边长a1；（2）如图2，当n=2时，求等腰直角三角形的直角边长a2；（3）如图3，求等腰直角三角形的直角边长an（用含n的代数式表示）．
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解：（1）如答图1，作B1D⊥BC于D．设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=
| 5 |
∵AC=2，BC=4，
∴
| AC |
| BC |
| CC1 |
| A1C |
∵∠ACB=∠C1CA1=90°，
∴△ABC∽△C1CA1，
∴∠CA1C1=∠B．
∵∠CA1C1=90°-∠A1C1C=∠B1C1D，
∠C=∠B1DC1=90°，A1C1=C1B1，
∴△C1CA1≌△B1C1D，
∴C1D=A1C=2x，∠CA1C1=∠B1C1D=∠B，
∴BD=C1D=2x，BC1=4x．
∵CC1+C1B=BC，
∴x+4x=4，
解得：x=
| 4 |
| 5 |
∴a1=A1C1=
| 5 |
4
| ||
| 5 |
（2）如答图2，作B2D⊥BC于D．
设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=B1C1=A2C2=B2C2=
| 5 |
由第（1）题可知BC2=C2D+BD=4x．
∵A1C1∥A2C2，
∴∠A1C1C=∠B1C2C1．
∵∠C=∠C1B1C2=90°，
∴△C1CA1∽△C2C1B1．
∴
| C1B1 |
| C1C2 |
| A1C |
| A1C1 |
∴C1C2=
| 5 |
| 2 |
∵CC1+C1C2+C2D=BC，
∴x+
| 5 |
| 2 |
∴x=
| 8 |
| 15 |
∴a2=A1C1=
