Question

已知函数f（x）=lnx 2 - 2ax e ，（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的递增区

已知函数f（x）=lnx 2 - 2ax e ，（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；（Ⅱ）当a=1时，过点P（0，t）（t∈R）作曲线y=f（x）的两条切线，设两切点为P1（x 1 ，f（x 1 ）），P 2 （x 2 ，f（x 2 ））（x 1 ≠x 2 ），求证：x 1 +x 2 =0．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）． f′（x）= 2 x - 2a e = 2(e-ax) ex ． 当a=0时，由f′（x）= 2 x ＞0，解得x＞0； 当a＞0时，由f′（x）= 2(e-ax) ex ＞0，解得0＜x＜ e a ； 当a＜0时，由f′（x）= 2(e-ax) ex ＞0，解得x＞0，或x＜ e a ． 所以当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）； 当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0， e a ）； 当a＜0时，函数f（x）的递增区间是（-∞， e a ）∪（0，+∞）． （Ⅱ）因为f′（x）= 2 x - 2 e = 2(e-x) ex ， 所以以p 1 （x 1 ，f（x 1 ））为切点的切线的斜率为 2(e- x 1 ) e x 1 ； 以p 2 （x 2 ，f（x 2 ））为切点的切线的斜率为 2(e- x 2 ) e x 2 ． 又因为切线过点p（0，t）， 所以 t-ln x 1 2 + 2 x 1 e = 2(e- x 1 ) e x 1 (0- x 1 ) ； t-ln x 2 2 + 2 x 2 e = 2(e- x 2 ) e x 2 (0- x 2 ) ． 解得，x 1 2 =e t+2 ，x 2 2 =e t+2 ．则x 1 2 =x 2 2 ． 由已知x 1 ≠x 2 所以，x 1 +x 2 =0．