Question

设函数f（x）=|x+1|+|2x-1|（I）画出函数y=f（x）的图象；（II）若对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成

设函数f（x）=|x+1|+|2x-1|（I）画出函数y=f（x）的图象；（II）若对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成立，求a-b的最大值．

Answer 1

解：由于函数f（x）=|x+1|+|2x-1|，
所以函数f（x）=

?3x ，  x≤?1     2?x，    ?1＜x≤ 1 2 3x，    x＞ 1 2

，
则函数y=f（x）的图象如图所示．
（II）结合函数图象，比较直线y=ax+b与y=-3x的斜率及y=2-x在y轴上的截距，
当且仅当

a≤?3 b≥2

时，不等式f（x）≤ax+b在x∈（-∞，0]上恒成立．
∴a-b≤5，即a-b的最大值为：-5．