Question

（一）已知a，b，c∈R+，①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．（

（一）已知a，b，c∈R+，①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．（二）已知a，b，x，y∈R+，①求证：x2a+y2b≥(x+y)2a+b．②利用①的结论求12x+91?2x(0＜x＜12)的最小值．

Answer 1

证明：（一）①a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，…（3分）
三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立                  …（6分）
②1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则ab+bc+ac≤

1

3

，当且仅当a=b=c时等号成立．    …（12分）
（二）①要证

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

，只要证(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)≥(x+y)2，…（3分）
则(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)＝x2+y2+

bx2

a

+

ay2

b

≥x2+y2+2xy＝(x+y)2，
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证．     …（6分）
②由①的结论知：

1

2x

+

9

1?2x

≥

(1+3)2

2x+1?2x

＝16，
当且仅当x＝

1

8

时，等号成立．                …（12分）