Question

在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，过B点作BG⊥AE于点G，交AC于H，交CD于点F．（1）求证：点F为边DC的中

在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，过B点作BG⊥AE于点G，交AC于H，交CD于点F．（1）求证：点F为边DC的中点；（2）如果正方形的边长为4，求CH的长度；（3）如果点M是BC上的一点，且AM=MC+CD，探究∠MAD与∠BAE有怎样的数量关系，说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∠ABG+∠GBE=90°，
∴∠BAG=∠GBE，
即

∠BAG＝∠GBE ∠AGB＝∠BCF AB＝BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=

1

2

BC，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

CD，
∴点F为边CD的中点；

（2）∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=

AB2+BC2

＝

32

＝4

2

，
∵在正方形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴CH：HA=CF：AB，
由（1）知CF=

1

2

AB，
∴CH：HA=CF：AB=1：2，
∴CH=

1

2

AH=

1

3

AC=

4 2

3

；

（3）∠MAD=2∠BAE，
理由如下：
连接AF并延长交BC的延长线于点N，
∵点F为边DC的中点，AD∥BC，
∴DF