Question

（2012?随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x2-2x-3=0巡视后，老师发现同学们解此道

（2012?随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x2-2x-3=0巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2+（m-3）x-3=0（m为常数，且m≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y=mx2+（m-3）x-3（m为常数）①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B．当△ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．

Answer 1

（1）由x²-2x-3=0，得（x+1）（x-3）=0，
∴x₁=-1，x₂=3；               …（3分）

（2）方法一：由mx²+（m-3）x-3=0，得（x+1）?（mx-3）=0，
∵m≠0，∴x₁=-1，x₂=

3

m

…（3分）
方法2：由公式法：x₁，x₂=

3-m± (m-3)2+12m

2m

=

3-m±|m+3|

2m

，
∴x₁=-1，x₂=

3

m

；

（3）①1°当m=0时，函数y=mx²+（m-3）x-3为y=-3x-3，
令y=0，得x=-1；令x=0，则y=-3．
∴直线y=-3x-3过定点A（-1，0），C（0，-3）…（2分）
2°当m≠0时，函数y=mx²+（m-3）x-3为y=（x+1）?（mx-3），
∴抛物线y=（x+1）?（mx-3）恒过两定点A（-1，0），C（0，-3）；
故不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点；

②（I）当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0），
观察图象，可知，当△ABC为直角三角形时，
则△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴|OC|²=|OA|?|OB|，
∴3²=1×|OB|，
∴OB=9，即B（9，0），
∴当0＜

3

m

＜9．即：m＞

1

3

，
当m＞

1

3

时，△ABC为锐角三角形； 
（II）观察图象可知
当m＜0且m≠-3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合．
∴△ABC中的∠BAC＞90°，
∴△ABC是钝角三角形．
∴当m＜0且m≠-3时，△ABC为钝角三角形，
综上当m＞

1

3

时，△ABC为锐角三角形．