Question

已知F1，F2是椭圆x2100+y264=1的两个焦点，P是椭圆上任一点（1）若∠F1PF2=π3，求△F1PF2的面积；（2）

已知F1，F2是椭圆x2100+y264=1的两个焦点，P是椭圆上任一点（1）若∠F1PF2=π3，求△F1PF2的面积；（2）求|PF1|?|PF2|的最大值．

Answer 1

（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则
根据椭圆的定义可得m+n=20．
在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
所以根据余弦定理可得：m²+n²-2mn?cos60°=144
从而（m+n）²-3mn=144，
所以mn=

256

3

，
所以S_△F1PF2=

1

2

mnsin60°=

64 3

3

…（6分）
（2）根据椭圆的定义可得m+n=20，
所以mn≤(

m+n

2

)2=100，当且仅当m=n时等号成立…（10分）
故|PF₁|?|PF₂|的最大值为100…（12分）