Question

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，（x-1）（x4+

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1，（1）根据前面各式的规律可得：（x-1）（xn+xn-1+…+x2+x+1）=______（其中n为正整数）．（2）根据（1）求1+2+22+23+…+262+263的值，并求出它的个位数字．

Answer 1

（1）根据各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（2）根据各式的规律得：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=（2-1）（2⁶³+2⁶²+…+2³+2²+2+1）=2⁶⁴-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，且64÷4=16，
∴2⁶⁴个位上数字为6，
则1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的个位数字为5．
故答案为：（1）xⁿ⁺¹-1．

Answer 2

（1）根据各式的规律可得：（x-1）（x
n
+x
n-1
+…+x
2
+x+1）=x
n+1
-1；
（2）根据各式的规律得：1+2+2
2
+2
3
+…+2
62
+2
63
=（2-1）（2
63
+2
62
+…+2
3
+2
2
+2+1）=2
64
-1，
∵2
1
=2，2
2
=4，2
3
=8，2
4
=16，2
5
=32，…，且64÷4=16，
∴2
64
个位上数字为6，
则1+2+2
2
+2
3
+…+2
62
+2
63
的个位数字为5．
故答案为：（1）x
n+1
-1．