Question

关于计量经济学Brooks那本书F检验和Chow test里被约束数量的问题

我原来学的伍德里奇的计量，F检验里自由度算法是n-k-1。现在Chris Brooks那本金融计量学导论里很多说法不一样。比如F检验自由度算法是T-k,T跟N一个意思，K的定义却是number of regressors in unrestricted regression,对于类似y=beta1+beta2*x2+beta3*x3这样的多元回归模型，这里的K是数beta还是x啊？beta1是代表常数项还是后面其实有个等于1的X1？还有就是邹至庄检验那里，Brooks的算法也是（T-2K）/K。K的定义同上，如果三个模型中未约束模型是rgt = α + β*rMt + ut，那么K的数量是指α跟beta还是α跟rMt?

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Answer 1

自由度这玩意，是比较难弄清楚。
其实自由度的概念，是参考了线性方程组理论里面解的自由度问题。
但是根本还是要弄清楚F检验的含义

Q1：
在这里，以题主的例子为例子，
y=beta1+beta2*x2+beta3*x3

那么说F检验是检验H0: beta2 = beta3 = 0，这里约束个数为2
按照Woodridge的说法，那就是k = 2，指的是斜率系数（beta2，beta3）个数。F ~ F(2, n - 3)
按照Brooks的说法，那就是k = 3，指的是解释变量个数。F ~ (2, n - 3)

也就是说，k是斜率系数的个数或者解释变量个数，不是什么beta或者x

Q2：
beta1就是代表常数项，常数项在多元回归里就是观测值都为1的x1

Q3：
对于模型
rgt = α + β*rMt + ut

rMt明显是一个解释变量，所以斜率系数是β。
Brooks的K应该就是等于2，也即α和β

追问

Q2和Q3基本完美，但我对Q1的解答有点疑问。你说的K=3是指解释变量的个数能否具体点，哪三个？

追答

Brooks的解释变量是指待拟合系数beta1、beta2、beta3相对应的解释变量，这三个系数是没有约束的（注意到的是系数和解释变量一一对应，也就是说regressors in unrestricted regression既是指那个解释变量，也是指那个系数~），因此按照他的定义，K = 3就是指这三个。

这里牵涉到方程自由度和计量学家关注点的差异问题。从OLS的数学过程上讲，beta1作为求解中要求出来的一个系数，占用了一个自由度（具体可以参考线性方程组的求解中，基解的定义）。从这个意义上讲，beta1其实也应该是一个无约束的被解释变量系数。

然而，计量学家不关注常数项，因为它相当于残差的一个均值而已。模型解释能力强与弱，首先和斜率系数（beta2，beta3）有关，因此计量学家施加的约束，一般从beta2开始。从这个角度讲，Woodridge的定义更是切中计量学家的G点（G点 = 兴奋点）。因此Woodridge的定义里，K = 2（beta2， beta3）