Question

如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，矩形EFGH的顶点E，H分别在AB，AC上，F，G在BC边上

如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，矩形EFGH的顶点E，H分别在AB，AC上，F，G在BC边上，AD与EH相交于点K.
（1）如图1，若BC=10，AD=5，EH=2EF，求EF，EH的长.
（2）如图2，若BC=AD=8，求矩形EFGH的周长.
（3）如图3，若四边形EFGH是边长为4的正方形，且S△AEH：S△HGC：S△BEF=1：1：3，求△ABC的面积.

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Answer 1

(1)BEF∽BAD,EF/AD=EB/AB(1),AEH∽ABC,EH/BC=AE/AB(2),(1)/(2)得：BC*EF/AD*EH=BE/AE ∵BC=10，AD=5，EH=2EF∴BE=EA∴EH是ABC的中位线∴EH=5
(2) ∵BEF∽BAD,EF/AD=EB/AB(1),AEH∽ABC,EH/BC=AE/AB(2),(1)+(2)得：EF+EH/8=AB/AB
EF+EH=8∴矩形EFGH的周长为16
（3）∵S△AEH：S△HGC：S△BEF=1：1：3∴AK：GC：BF=1:1:3 ∵AEH∽EBF,EK/BF=AK/EF(1),AKH∽HGC,KH/GC=AK/HG(2),(1)得：BF*AK=EF*EK
3AK^2=EF*EK (3)，(2)得：GC*AK=KH*HG AK^2=KH*HG,(3)+(4)得：4AK^2=EF*EK+KH*HG
4AK^2=16 AK=2 S△ABC= S△AEH+ S△BEF+ S△HGC+ SEFGH=4+12+4+16=36