Question

数学题14,15题

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Answer 1

14. 由题意知AD⊥BD，且AD=a
因AC=BC，∠ACB=90°，所以∠ABC=45°
又BD平分∠ABC，所以∠CBD=∠ABD=45°/2=22.5°
又∠AED=∠BEC
所以∠DAE=∠CBE=22.5°
而tan22.5°=(1-cos45°)/sin45°=(1-√2/2)/(√2/2)=√2-1
在直角△ADB中，BD=AD/tan22.5°=a/(√2-1)=(√2+1)a
在直角△ADE中，DE=AD*tan22.5°=(√2-1)a
所以BE=BD-DE=(√2+1)a-(√2-1)a=2a
15. 又题意有CE⊥AB，BD⊥AC
所以直角△ABD与直角△ACE相似
所以∠ABD=∠ACE
又AB=CQ，BP=AC
所以△ABP≌△QCA
所以PA=AQ，∠P=∠CAQ
而∠P+∠DAP=90°
所以∠PAQ=∠DAQ+∠DAP=90°
即PA⊥AQ
故线段PA与AQ垂直且相等

Answer 2

1、解：延长AD交BC的延长线于M.
因为BD是角平分线，所以∠ABD=∠CBD，又AD⊥BD. ，BD=BD
所以△ABD ≌△CBD, 所以AD = DM = a ，AB=MB 所以∠AMB = ∠BAM
因为AC =BC,AC⊥BC.，
所以∠MBA=∠BAC=45°. 所以∠AMB = ∠BAM=67.5°，
所以∠MAC = ∠CBE = 22.5°.
在△MAC 和 △CBE中
∠MAC = ∠CBE
AC = BC
∠MCA = ∠EBC =90°
所以△MAC ≌ △CBE（ASA)
所以AM = BE = 2a
2、解：AP⊥AQ,AP = AQ. 理由如下：
∵BD⊥AC,AB⊥CE
∴∠1 +∠BAD = 90°，∠2 +∠BAD = 90°， ∴∠1 =∠2
在△ABP和△QCA中
AB = CQ
∠1 =∠2
BP = AC
∴△ABP≌△QCA (SAS)
∴AP = AQ,∠P = ∠CAQ
∵AC⊥BP ∴∠P + ∠PAD = 90°
∴∠CAQ + ∠PAD = 90°
∴ ∠PAQ = 90°, AP ⊥AQ
所以AP ⊥AQ，AP =AQ。

Answer 3

15、直角△ADB和直角△AEC中，∠1=90º-∠A，∠2=90º-∠A，∴∠1=∠2
在△PAB和△AQC中，BP=AC，CQ=AB，∠1=∠2
∴△PAB≌△AQC，PA=AQ，∠APB=∠QAC，将AQ、BP交叉点标为F，即∠APD=∠FAD。
在直角△FDA和直角△ADP中，∠APD=∠FAD，
∴∠AFD=∠PAD，∠FAD+∠AFD=∠FAD+∠PAD=90º，PA⊥AQ
结论：PA=AQ，且PA⊥AQ。