Question

（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线

对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

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Answer 1

1、根据题意，将A(-1,0)、C(0,2)代入抛物线可得：
-1-m+n=0、n=2
则m=1，所以抛物线方程为：y= -x²+x+2
2、根据物线方程y= -x²+x+2，可知D(1/2,0)
当P(1,2)时，PD=CD=√17/4，此时△PCD是以CD为腰的等腰三角形；
3、根据物线方程y= -x²+x+2，可知B(2,0)
所以直线BC的方程为：y= -x+2
设E(x,y)，因为E在BC上，所以0<x<2，
因为EF垂直于x轴，且在抛物线上，所以，F(x, -x²+x+2)
当E移动时，△CDB的面积不会变化，所以当四边形CDBF面积最大时即△CBF面积最大，而BC的长度恒定，即当F到直线BC的距离最大时，四边形CDBF面积最大
即|x+(-x²+x+2)-2|/√2(0<x<2)最大时，所以当x=1时，|x+(-x²+x+2)-2|/√2(0<x<2)最大，此时E（1，1）四边形面积为3/2+1=5/2