Question

如图，抛物线y=-x 2 +2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。

如图，抛物线y=-x 2 +2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。 （1）直接写出A、B、G三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点 F，设点P的横坐标为m。①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式。

Answer 1

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， 抛物线的对称轴是：x=1； （2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得： ，解得： ， 所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1，2）； 当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）； 在y=-x 2 +2x+3中， 当x=1时，y=4，∴D（1，4）， 当x=m时，y=-m 2 +2m+3，∴F（m，-m 2 +2m+3）， ∴线段DE=4-2=2， 线段PF=-m 2 +2m+3-（-m+3）=-m 2 +3m， ∵PF∥DE， ∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形， 由-m 2 +3m=2，解得：m 1 =2，m 2 =1（不合题意，舍去）， 因此，当m=2时，四边形PEDF为平等四边形； ②设直线PF与x轴交于点M， 由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3， ∵S=S △BPF +S △CPF ，即 = ， ∴ 。