Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线 与BC边相交于

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线 与BC边相交于点D。 （1）求点D的坐标；（2）若抛物线 经过D、A两点，试确定此抛物线的函数表达式；（3）若P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

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Answer 1

解：（1）直线 与BC交于点D（x，3）， 把y=3代入 中得，x=4， ∴D（4，3）。 （2）∵抛物线y=ax 2 +bx经过D（4，3）、A（6，0）两点， 把x=4，y=3；x=6，y=0分别代入y=ax 2 +bx中得， ，解得： ， ∴抛物线的解析式为： 。 （3）因△POA底边OA=6， ∴当S △POA 有最大值时，点P须位于抛物线的最高点， ∵ <0， ∴抛物线顶点恰为最高点， ∵ ， ∴ 的最大值为 。
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件， ∵CB∥OA，∠Q 1 OM=∠CDO， ∴Rt△Q 1 OM∽Rt△CDO， ∵ ，该点坐标为Q 1（ 3，0）， 过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q 2 ， ∵对称轴平行于y轴， ∴∠Q 2 MO=∠DOC，  ∴Rt△Q 2 MO∽Rt△DOC， 在Rt△Q 2 Q 1 O和Rt△DCO中， Q 1 O=CO=3，∠Q 2 =∠ODC， ∴Rt△Q 2 Q 1 O≌Rt△DCO， ∴CD=Q 1 Q 2 =4， ∵点Q 2 位于第四象限， ∴Q 2 （3，-4）， 因此，符合条件的点有两个， 分别是Q 1 （3，0），Q2（3，-4）。