Question

阅读材料 如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O

阅读材料 如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出 的值（用含α的式子表示出来）

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Answer 1

（1）BF=CD．证明详见解析；（2）不成立， ；（3） .

试题分析：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD，即可得到BF=CD； （2）如答图③所示，连接OC、OD，可证明△BOF∽△COD，进而求出相似比为  ；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，进而可求相似比为 . 试题解析： 解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点， ∴OB=OC，∠BOC=90°． ∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点， ∴OF=OD，∠DOF=90°． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． ∵在△BOF与△COD中， ∴△BOF≌△COD（SAS）， ∴BF=CD． （2）答：（1）中的结论不成立． 如答图③所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点， ∴  ，∠BOC=90° ∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点， ∴ ，∠DOF=90°． ∴ ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， ∵ ，∠BOF=∠COD， ∴△BOF∽△COD， ∴  ． （3）如答图④所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点， ∴  ，∠BOC=90° ∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点， ∴ ，∠DOF=90°． ∴ ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， ∵ ，∠BOF=∠COD， ∴△BOF∽△COD， ∴  ．