在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，连接PA、PB．（1）求证：P
在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，连接PA、PB．（1）求证：PB=AD；（2）若∠APC=150°，①求证...
在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，连接PA、PB．（1）求证：PB=AD；（2）若∠APC=150°，①求证：PB2=PA2+PC2；②若PA、PC、PB分别等于三个相邻的自然数，求AB2的值．
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（1）证明：连结AC，如图，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∵线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，
∴CP=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB=∠DCP，
∴∠ACB-∠ACP=∠DCP-∠ACP，
即∠PCB=∠DCA，
在△PCB和△DCA中
，
∴△PCB≌△DCA，
∴PB=AD；
（2）①证明：∵CP=CD，∠PCD=60°，
∴△CPD为等边三角形，
∴∠DPC=60°，PD=PC，
∵∠APC=150°，
∴∠APD=90°，
∴AD2=PA2+PD2，
而PD=PC，AD=PB，
∴PB2=PA2+PC2；
②解：设PA、PC、PB分别等于n，n+1，n+2，
∵PB2=PA2+PC2，
∴（n+2）2=n2+（n+1）2，
整理得n2-2n-3=0，解得n1=3，n2=-1（舍去），
∴PA=3，PC=4，PB=5，
作AE⊥CP于E，如图，
∵∠APC=150°，
∴∠APE=30°，
∴AE=
AP=
，
PE=
AE=
，
∴CE=PC+PE=4+
，
在Rt△AEC中，
AC2=AE2+CE2=（
）2+（4+
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∵线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，
∴CP=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB=∠DCP，
∴∠ACB-∠ACP=∠DCP-∠ACP，
即∠PCB=∠DCA，
在△PCB和△DCA中
|
∴△PCB≌△DCA，
∴PB=AD；
（2）①证明：∵CP=CD，∠PCD=60°，
∴△CPD为等边三角形，
∴∠DPC=60°，PD=PC，
∵∠APC=150°，
∴∠APD=90°，
∴AD2=PA2+PD2，
而PD=PC，AD=PB，
∴PB2=PA2+PC2；
②解：设PA、PC、PB分别等于n，n+1，n+2，
∵PB2=PA2+PC2，
∴（n+2）2=n2+（n+1）2，
整理得n2-2n-3=0，解得n1=3，n2=-1（舍去），
∴PA=3，PC=4，PB=5，
作AE⊥CP于E，如图，
∵∠APC=150°，
∴∠APE=30°，
∴AE=
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| 3 |
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PE=
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3
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∴CE=PC+PE=4+
3
| ||
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在Rt△AEC中，
AC2=AE2+CE2=（
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