Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an?2(n∈N*)，（1）求a1，a2的值； &n...

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an?2(n∈N*)，（1）求a1，a2的值； （2）求数列{an}的通项an；（3）设cn=（3n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由S₁=2a₁-2=a₁得a₁=2，
S₂=2a₂-2=a₁+a₂，a₂=4，
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴

an

an?1

＝2，（n≥2，n∈N^*）．
即数列{a_n}是等比数列．
an＝2?2n?1＝22．
（3）c_n=（3n+1）a_n=（3n+1）2ⁿ．
T_n=4×2+7×2²+10×2³+…+（3n-2）2^n-1+（3n+1）2ⁿ…①，
2T_n=4×2²+7×2³+10×2⁴+…+（3n-2）2ⁿ+（3n+1）2ⁿ⁺¹…②，
①-②得 ?Tn＝8+3×(22+23+…+2n)?(3n+1)×2n+1…（10分）
=8+3×

22(1?2n?1)

1?2

?(3n+1)×2n+1…（11分）
=8-12+3?2ⁿ⁺¹-（3n+1）?2ⁿ⁺¹…（12分）
=-4+（2-3n）?2ⁿ⁺¹，…（13分）
∴Tn＝4+(3n?2)?2n+1．                    …（14分）