Question

设f（x）=g(x)?cosx ，x≠0a ，x＝0，其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=1，g′（0）=0．（1）确定a的

设f（x）=g(x)?cosx ，x≠0a ，x＝0，其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=1，g′（0）=0．（1）确定a的值使f（x）在x=0处连续；（2）讨论f′（x）在x=0的连续性．

Answer 1

由连续的定义，为使f（x）在x=0处连续，a应该满足：
a=f（0）=

lim

x→0

f(x) 
=

lim

x→0

(g(x)?cosx) 
=g（0）-1
=0，
从而a=0．
（2）当a≠0时，f（x）在x=0处不连续，从而不可导，
f′（x）在x=0处不连续．
当a=0 时，
利用导数的定义可得，
f′（0）=

lim

x→0

f(x)?f(0)

x?0

 
=

lim

x→0

g(x)?cosx?a

x?0

=

lim

x→0

g(x)?cosx

x

洛必达法则  .

lim

x→0

g′(x)+sinx

1

=g′（0）=0，
又因为 f′（x）=g′（x）+sinx，?x≠0，
且

lim

x→0

f′(x)=

lim

x→0

(g′(x)+sinx)=g′（0）=f′（0），
故f′（x）在x=0连续．
综上，当a≠0时，f′（x）在x=0处不连续；
当a=0 时，f′（x）在x=0连续．