Question

如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀

如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外．一个质量为m，电量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g．（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；（2）若带电小球能进入区域Ⅱ，则h应满足什么条件？（3）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距MN的高度h．

Answer 1

（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电．         
由qE=mg…①，
解得：E＝

mg

q

…②；
（2）假设下落高度为h₀时，带电小球在Ⅰ区域作圆周运动的圆弧与PQ相切时，运动轨迹如答图（a）所示，
由几何知识可知，小球的轨道半径：R=d…③，
带电小球在进入磁场前做自由落体运动，由机械能守恒定律得：mgh=

1

2

mv²…④，
带电小球在磁场中作匀速圆周运动，设半径为R，由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

…⑤
解得：h₀=

q2B2d2

2m2g

，
则当h＞h₀时，即h＞

q2B2d2

2m2g

带电小球能进入Ⅱ区域；
（3）由于带电小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，
故三段圆周运动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，
边长为2R，内角为60°，如答图（b）所示．由几何关系知：R=

d

sin60°

…⑥
联立解得④⑤⑥得：h=

2q2B2d2

3m2g

； 
答：（1）小球带正电，电场强度E=

mg

q

；
（2）若带电小球能进入区域Ⅱ，h应满足的条件是：h＞

q2B2d2

2m2g

；
（3）它释放时距MN的高度h=

2q2B2d2

3m2g

．