Question

已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1

已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=13x3+12x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=（x²+3x）e^x．
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=4e（x-1），
即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（

1

3

x³+

1

2

x²+m）
则h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）
=-（e^x+1）（x²+x）
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1处取得极小值h（-1）=-

3

e

-

1

6

-m，在x=0处取得极大值h（0）=-1-m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴

h(?1)＜0 h(0)＞0

即

? 3 e ? 1 6 ?m＜0 ?1?m＞0

，
解得：-

3

e

-

1

6

＜m＜-1．