已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,若△OMF的面积为12

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,若△OMF的面积为12,且椭圆的离心率为22.且△OMF是等腰直角三角... 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,若△OMF的面积为12,且椭圆的离心率为22.且△OMF是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 展开
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繁星VM45VT34
2014-08-28 · TA获得超过133个赞
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(Ⅰ)由△OMF是等腰直角三角形,得b=1,a=
2
b=
2

故椭圆方程为
x2
2
+y2=1
.                        …(5分)
(Ⅱ)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为M(0,1),F(1,0),所以kPQ=1.                     …(7分)
于是设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程,消元可得3x2+4mx+2m2-2=0.
由△>0,得m2<3,且x1+x2=-
4m
3
,x1x2=
2m2?2
3
.    …(9分)
由题意应有
MP
?
FQ
=0
,所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,
所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0.
整理得2×
2m2?2
3
-
4m
3
(m-1)+m2-m=0.
解得m=-
4
3
或m=1.                               …(12分)
经检验,当m=1时,△PQM不存在,故舍去.
当m=-
4
3
时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x-
4
3
.…(13分)
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