Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．求△ABC的内切圆半径r

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．求△ABC的内切圆半径r．

Answer 1

1.

如图，OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB

OE=OD=OF

∴OECD是正方形

∴CE=CD=OE=OD=r

AE=b-r，AF=AE=b-r

BD=a-r，BF=BD=a-r

AB=AF+BF=(a-r)+(b-r)=c

a+b-2r=c

r=(a+b-c)/2

2.

连接BC

∵AB是直径

∴∠ACB=90°    

∴∠B+∠CAB=90°

∵∠DCA=∠B，   （弦切角等于夹弧所对圆周角）

∠DCA+∠DAC=90°

∴∠CAB=∠DCA   （等角的余角相等）

即AC平分∠DAB

Answer 2

解：
设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
或者用：内切圆直径L＝a＋b－c
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c

Answer 3

解：
设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
或者用：内切圆直径L＝a＋b－c
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c

Answer 4

解：
设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
或者用：内切圆直径L＝a＋b－c
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c

Answer 5

也不知道那个人瞎扯什么呢？别处抄来一个就算完事了。。。这题考的就是3个垂直，90度是平分，所以是45度角2个半径r，另外一段就是a-r和b-r，跟另外一边两个三角形全等，所以a-r+b-r=c。。。r=1/2（a+b-c）。。。
下面那个神思维啊，1/2ab=1/2(A+B+C)*r，从哪里来的逻辑？思维跳跃性也太大了吧？