Question

在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF

在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；（2）探究：当∠CBD的度数为多少度时四边形BFDE为菱形，并给予证明，求出此时AB：BC的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C．
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折知，∠ABE=∠EBD=

1

2

∠ABD，∠CDF=∠FDB=

1

2

∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，
在△ABE和△CDF中，

∠ABE＝∠CDF AB＝CD ∠A＝∠C

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴EB=DF，
∵∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形；
（2）当∠CBD=30°时四边形BFDE为菱形，
证明：∵ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∠CBD=30°，
∴∠ABD=60°．
∵折叠的性质
∴∠ABE=∠EBD=30°，
四边形BFDE为平行四边形
∴BE∥DF，
∠FDB=∠EBD=30°，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF
∴四边形BFDE为菱形；
tan∠DBC=tan30°=

DC

BC

＝

AB

BC

＝

3

3

，
∴

AB

BC

＝

3

3

．