Question

P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若PA=PB=PC，则O点是△ABC的______心；（2）若PA

P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若PA=PB=PC，则O点是△ABC的______心；（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的______心；（3）若PA，PB，PC两两互相垂直，则O点是△ABC的______心．

Answer 1

解答：解：（1）设点P作平面ABC的射影O，由题意：PA=PB=PC，因为PO⊥底面ABC，
所以△PAO≌△POB≌△POC
即：OA=OB=OC
所以O为三角形的外心．
（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；
（3）若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心．
故答案为：外，垂，垂．