Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时PQ平行于BC；（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴BC=6cm，
∵P、Q的运动速度为2cm/s，
∴PB=AQ=2t，则AP=10-2t，
（1）当PQ∥BC时，则

AP

AB

=

AQ

AC

，即

10?2t

10

=

2t

8

，解得t=

20

9

，
即当

20

9

s时PQ∥BC；
（2）∵△ABC为直角三角形，
∴当△APQ和△ABC相似时，必有一个角为直角，
当∠AQP=90°时，则PQ∥BC，由（1）可知t=

20

9

，
当∠APQ=90°时，则

AP

AC

=

AQ

AB

，即

10?2t

8

=

2t

10

，解得t=

25

9

，
∴当t为

20

9

或

25

9

时△APQ和△ABC相似；
（3）不存在．理由如下：
当线段PQ恰好把△ABC的周长平分时，则有AP+AQ=PB+BC+CQ，
即10-2t+2t=2t+6+8-2t，整理得10=14，显然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周长平分的t；
（4）存在．
如图，过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，

∴

PD

BC

=

AP

AB

，即

PD

6

=

10?2t

10

，解得PD=

30?2t

5

，
∴S_△APQ=

1

2

AQ?PD=

1

2

×2t×

30?2t

5

=

30t?2t2

5

，
且S_△ABC=

1

2

AC?BC=

1

2

×8×6=24，
当线段PQ恰好把△ABC的面积平分时，则有S_△APQ=

1

2

S_△ABC，
即

30t?2t2

5

=12，整理可得t²-15t+30=0，
解得t=

15+5 5

2

＞4（舍去）或t=

15?5 5

2

，
∴当t=

15?5 5

2

时，线段PQ恰好把△ABC的面积平分．