Question

如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点（E不与A、B重合），F是AD的延长线上一点，DF=2BE．四边形AEGF

如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点（E不与A、B重合），F是AD的延长线上一点，DF=2BE．四边形AEGF是句型，其面积y随BE的长x的变化而变化且构成函数．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若上述（1）中是二次函数，请用配方法把它转化成y=a（x-h） 2 +k的形式，并指出当x取何值时，y取得最大（或最小）值，该值是多少？（3）直接写出抛物线与x轴交点坐标．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD的边长是4，BE=x，DF=2BE， ∴AE=AB-BE=4-x，AF=AD+DF=4+2x， ∴y=（4-x）（4+2x）=-2x 2 +4x+16， ∵E不与A、B重合， ∴0＜x＜4， 故y=-2x 2 +4x+16（0＜x＜4）； （2）y=-2x 2 +4x+16=-2（x 2 -2x+1）+2+16=-2（x-1） 2 +18， ∴y=-2（x-1） 2 +18， ∵a=-2＜0， ∴x=1时，y有最大值，最大值为18； （3）令y=0，则-2x 2 +4x+16=0， 整理得，2x 2 -4x-16=0， 解得x 1 =-2，x 2 =4， ∴抛物线与x轴交点坐标为（-2，0），（4，0）．