Question

如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E、F分别在线段PB、AC上，满足BE=CF

如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E、F分别在线段PB、AC上，满足BE=CF．（1）求PD与平面ABCD所成的角的大小；（2）求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值．（3）求证：EF⊥CD．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA是PD与平面ABCD所成角 又PA=AB=AD ∴∠PDA=45°， ∴PD与平面ABCD所成的角为45° （2）连接BD交AC于O，连接PO， 则AC⊥BD， ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD，而PA∩AC=A， ∴BD⊥面PAC，又PO?面PAC， ∴BD⊥PO， ∴∠AOP就是平面PBD与平面ABCD所成角， 在Rt△AOP中，tan∠AOP= PA AO = 2 ； （3）过点E作EH ∥ PA，交AB于H，连接FH， 则 BE BP = BH BA ， ∵BE=CF，BP=AC，∴ BE BP = CF AC ，∴ BH BA = CF CA ∴FH ∥ AD， ∵AD⊥CD，∴CD⊥FH  又PA⊥CD，∴CD⊥EH ∴CD⊥平面EFH， ∴EF⊥CD．