Question

如图，在 0≤x≤ 3 a 区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻，

如图，在 0≤x≤ 3 a 区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内．已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t 0 时刻刚好从磁场边界上 P( 3 a，a) 点离开磁场．求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷；（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．

Answer 1

（1）初速度与y轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1中的弧OP所示，其圆心为C．由题给条件可以得出 ∠OCP= 2π 3    ① 此粒子飞出磁场所用的时间为 t 0 = T 3 ② 式中T为粒子做圆周运动的周期． 设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得 R= 2 3 3 a   ③ 由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 qvB=m v 2 R   ④ T= 2πR v    ⑤ 联立②③④⑤解得 q m = 2π 3B t 0 ⑥ （2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出．依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同．在t 0 时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧 MN 上．如图所示． 设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v P 、v M 、v N ．由对称性可知v P 与OP、v M 与OM、v N 与ON的夹角均为 π 3 ． 设v M 、v N 与y轴正向的夹角分别为θ M 、θ N ，由几何关系有 θ M = π 3 ⑦ θ N = 2π 3 ⑧ 对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足 π 3 ≤θ≤ 2π 3 （3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2所示．由几何关系可知： OM=OP 由对称性可知 ME=OP 由图可知，圆的圆心角为240°，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t 0 ；