（2013?道里区三模）如图，AB是⊙O的直径，点G在⊙O上，CG=CB，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC、AC、B
（2013?道里区三模）如图，AB是⊙O的直径，点G在⊙O上，CG=CB，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC、AC、BG，BG与AC交于点E．（1）求证：BG=2CD...
（2013?道里区三模）如图，AB是⊙O的直径，点G在⊙O上，CG=CB，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC、AC、BG，BG与AC交于点E．（1）求证：BG=2CD；（2）若⊙O直径为55，BC=5，求AE的长．
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（1）延长CD交⊙O于点F，
∵CD⊥AB，
∴
＝
，CF=2CD，
连接OC，OF，OG，
∵
＝
＝
，
∴∠GOC=∠COB=∠FOB，
∴∠GOB=∠COF，
∴BG=CF，
∵CF=2CD，
∴BG=2CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5
，BC=5，
∴AC=
=10，
∵
＝
，
∴∠CBG=∠BAC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴CE=2.5，
∴AE=10-2.5=7.5．
∵CD⊥AB，
∴
 |
| BF |
 |
| BC |
连接OC，OF，OG，
∵
 |
| CG |
|
| BF |
|
| BC |
∴∠GOC=∠COB=∠FOB，
∴∠GOB=∠COF，
∴BG=CF，
∵CF=2CD，
∴BG=2CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5
| 5 |
∴AC=
| AB2?BC2 |
∵
|
| CG |
|
| BC |
∴∠CBG=∠BAC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴
| CE |
| BC |
| BC |
| AC |
∴
| CE |
| 5 |
| 5 |
| 10 |
∴CE=2.5，
∴AE=10-2.5=7.5．
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