Question

已知半径为2，圆心在直线y=-x+2上的圆C．（Ⅰ）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）

已知半径为2，圆心在直线y=-x+2上的圆C．（Ⅰ）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E（1，1），F（1，-3），若圆C上存在点Q，使|QF|2-|QE|2=32，求圆心的横坐标a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵圆心在直线y=-x+2上，
∴可设圆心坐标为（a，-a+2），圆的方程为（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，
∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，
∴有

(2?a)2+[2?(?a+2)]2＝4 |a|＝2

解得a=2，
∴所求方程是：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）设Q（x，y），则由|QF|²-|QE|²=32得：（x-1）²+（y+3）²-[（x-1）²+（y-1）²]=32，即y=3，
∴Q在直线y=3上，
∵Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，
∴⊙C与直线y=3有交点，
∵⊙C的圆心纵坐标为-a+2，半径为2，
∴⊙C与直线y=3有交点的充要条件是1≤-a+2≤5，
∴-3≤a≤1，即圆心的横坐标a的取值范围是-3≤a≤1．