Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=7．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=7．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设Cn=1bnbn+1，数列{Cn}的前n项和为Tn，求证Tn＜12．

Answer 1

（1）解：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，
解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，
设{b_n}的公差为d，
b₁=a₁=1，b4 =1+3d=7，解得d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）证明：∵b_n=2n-1，
∴cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴Tn=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．
∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．