Question

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)＝12x2+mx+72（m＜0）的图象也相切．（

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)＝12x2+mx+72（m＜0）的图象也相切．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）设h(x)＝ag(x)?f(x)+2ax?72a，若h(x)≥12恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝

1

x

，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，
由

y＝x?1 y＝ 1 2 x2+mx+ 7 2

?

1

2

x2+(m?1)x+

9

2

＝0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合题意，舍去）
（Ⅱ）∵g(x)＝

1

2

x2?2x+

7

2

由h(x)＝

a

2

x2?2ax+

7a

2

?lnx+2ax?

7a

2

＝

a

2

x2?lnx≥

1

2

恒成立，
得a≥

1+2lnx

x2

(x＞0)恒成立
设?(x)＝

1+2lnx

x2

，则?′(x)＝

?4lnx

x3

当0＜x＜1时，?′（x）＞0；当x＞1时，?′（x）＜0．
于是，?（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故φ（x）的最大值为?_max（x）=?（1）=1
要使a≥?（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）