Question

设函数f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求g（t）的值域

设函数f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求g（t）的值域．

Answer 1

解：∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，∴对称轴x=1，顶点坐标（1，-2），如图所示；
f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
当0≤t≤1时，g（t）=-2；
当t≥1时，在区间[t，t+1]上是增函数，g（t）=f（t）=t²-2t-1；
当t≤0时，在区间[t，t+1]上是减函数，g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-1=t²-2．
∴g（t）=

?2            0≤t≤1 t2?2t?1   t＞1 t2?2         t＜0

综合以上得：g（t）的值域为[-2，+∞）．