Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动（1）①当t=3秒时，点P走过的路径长为______；②当t=______秒时，点P与点E重合；③当t=______秒时，PE∥AB；（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．

Answer 1

（1）①在Rt△ABC中，由∠C=90°，AC=6，BC=8得AB=10．
∵点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，
∴点P在AC边上运动的时间为：6÷3=2秒，
点P在BC边上运动的时间为：8÷4=2秒，
点P在AB边上运动的时间为：10÷5=2秒．
∴当t=3秒时，点P走过的路径长为6+4×（3-2）=10．
②由题意可知：当（t-2）×4=

4

3

t时，点P与点E重合．
解得：t=3．
∴t=3秒时，点P与点E重合．
③若PE∥AB，如图1，
则有△CPE∽△CAB．
∴

CP

CA

=

CE

CB

．
∴CP?CB=CE?CA．
∵CP=6-3t，CB=8，CE=

4

3

t，CA=6，
∴8（6-3t）=

4

3

t×6．
解得：t=1.5．
∴当t=1.5秒时，PE∥AB．
故答案分别为：10、3、1.5．

（2）如图2，
由旋转可得：∠PEF=∠MEN，
∵P在AC上，∴AP=3t （0＜t≤2）．
∴CP=6-3t．
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠CPE=∠PEF，∠BEF=∠C=90°．
∵EN⊥AB，
∴∠B=90°-∠NEB=∠MEN．
∴∠CPE=∠B．
∵∠C=∠C，∠CPE=∠B，
∴△CPE∽△CBA．
∴

CP

CB

=

CE

CA

．
∴CP?CA=CE?CB．
∴（6-3t）×6=

4t

3

×8．
解得：t=

54

43

．
∴当EN⊥AB时，t的值为

54

43

（秒）．

（3）①当P点在AC上时，（0＜t≤2），如图3，
∵EF∥AC，
∴△FEB∽△ACB，
∴

EF

AC

=

BF

BA

=

BE

BC

．
∵AC=6，BC=8，AB=10，BE=8-

4t

3

，
∴EF=6-t，BF=10-

5t

3

．
∵四边形PEQF是菱形，
∴∠POE=90°，EF=2OE．
∵∠C=∠POE=∠OEC=90°，
∴四边形PCEO是矩形．
∴OE=PC．
∴EF=2PC．
∴6-t=2（6-3t）．
∴t=

6

5

．
②当P点在BC上时，
此时点Q也在BC上，
所以以点P、E、Q、F为顶点不能构成菱形，故不存在．
③当P在AB上时，（4＜t＜6），如图4，
∵四边形PFQE是菱形，
∴OE=OF=

1

2

EF，EF⊥PQ．
∴∠FOP=90°=∠FEB．
∴OP∥BE．
∴△FOP∽△FEB．
∴

FP

BF

=

FO

FE

．
∴

FP

BF

=

1

2

．
∴BF=2PF．
∴BF=2BP．
∵BF=10-

5

3

t，BP=5（t-4），
∴10-

5t

3

=2[5（t-4）]．
解得：t=

30

7

．
综上所述：当四边形PEQF为菱形时，t的值为

6

5

（秒）或

30

7

（秒）．