在三角形ABC中AC=BC,角ACB=90°,D.E是AB边上的两点,AD=3,BE=4,角DCE=45°求ABC的面积为多少
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按正常思路假设AB上有DE两点,在直线上的顺序为ADEB
明显地有,√2 *AC=7+DE
根据正弦定理
sin45°/AC = sin角ACE /(3+DE)
sin135°/BC = sin角BCE /4
因为BC=AC, cos角ACE = sin角BCE
故有
1/(7+DE)=sinACE /(3+DE)
1/(7+DE)=cosACE / 4
由这两式,消去三角函数项
(3+DE)^2 +4^2 =(7+DE)^2
求得DE=-3
这就意味着DE两点,在直线上的真正顺序为AEDB
(这个其实很容易想通:角CAB 本身已是45°,再往AB方向走的时候,只会增大到90°,继而到B点时又减小到45°,BE=4,说明B和E不能重合,可以重合的只能A和E点。)
这样知道了AB=4
所以ABC的面积为 4
明显地有,√2 *AC=7+DE
根据正弦定理
sin45°/AC = sin角ACE /(3+DE)
sin135°/BC = sin角BCE /4
因为BC=AC, cos角ACE = sin角BCE
故有
1/(7+DE)=sinACE /(3+DE)
1/(7+DE)=cosACE / 4
由这两式,消去三角函数项
(3+DE)^2 +4^2 =(7+DE)^2
求得DE=-3
这就意味着DE两点,在直线上的真正顺序为AEDB
(这个其实很容易想通:角CAB 本身已是45°,再往AB方向走的时候,只会增大到90°,继而到B点时又减小到45°,BE=4,说明B和E不能重合,可以重合的只能A和E点。)
这样知道了AB=4
所以ABC的面积为 4
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