Question

一道高中数学不等式题

设x>0,y>0,且x≠y,比较(x^2/y^2)+(y^2/x^2)与(x/y)+(y/x)的大小

谢谢

Answer 1

应该是大于等于，当X=Y的时候就等于0
左边减右边(x^2/y^2)+(y^2/x^2)-(x/y)+(y/x)
化简(x^4+y^4-x^3y-xy^3)/(x^2*y^2)
(x^2*y^2)是一定大于0的，所以我们只要看看了x^4+y^4-x^3y-xy^3上面就行
又化简x^3(x-y)-y^3(x-y)
(x-y)(x^3-y^3)
(x-y)^2*(x^2-xy+y^2)
(x-y)^2*[(x-y)^2+xy]
上面就可以看得出来了，左边减右边是大于等于0的到这一步你只要加几句话就可以了当x=y和 x≠y
所以答案为大于等于

Answer 2

设x/y=z 就化成比较z^2+1/z^2与z+1/z的大小 两式做差通分得
z^2+1/z^2-(z+1/z)
=(z^4+1-z^3-z)/z
=(z^3-1)(z-1)/z
=(z-1)^2(z^2+z+1)/z
这里每一项都为正
所以z^2+1/z^2-(z+1/z)>0
即z^2+1/z^2>(z+1/z)

Answer 3

解：（x^2/y^2）+(y^2/x^2)=[(x/y)+(y/x)]^2-2
令t=x/y+y/x
则t^2-2-t=(t-根号2/2)^2-5/2
因为x>0,y>0所有t>0
令t^2-2-t=0,则t=-1，t=2
因为t>0,则t=2符合题意。
而当t=2，则x=y，则俩式不可能相等。
当1>x,y>0时，一式小于二式
当x，y>1时，一式大于二式

Answer 4

可采用做差法
(x^2/y^2)+(y^2/x^2)-【(x/y)+(y/x)】（先通分）
=(x^4+y^4-x^3*y-x*y^3)/(y^2*x^2)(合并同类项）
=x(x^3-y^3)+y(y^3-x^3)/(y^2*x^2)
=(x-y)(x^3-y^3)/(y^2*x^2)
若x>y，则x-y>0,x^3-y^3>0,即分子>0，所以(x-y)(x^3-y^3)/(y^2*x^2)>0,所以(x^2/y^2)+(y^2/x^2)>【(x/y)+(y/x)】
若x<y,则x-y<0,x^3-y^3<0,即分子>0，所以(x-y)(x^3-y^3)/(y^2*x^2)>0,所以(x^2/y^2)+(y^2/x^2)>【(x/y)+(y/x)】
综上所示，(x^2/y^2)+(y^2/x^2)>【(x/y)+(y/x)】