Question

函数f（x）=a-1/(2^x+1) (1)若f(x)为奇函数，求a的值 （2）判断并证明f（x）的单调性

Answer 1

(1)若f(x)为奇函数，则f(0)=0，代入解析式可得a=1/2
（2）首先定义域为R，令x1>x2,作差，f(x1)-f(x2)=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
又g(x)=2^x在R上单调递增，而x1>x2，分子相同，分母越大，，值反而越小
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在R上单调递增

Answer 2

（1）∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋ f(－x)＝0
即[a－1/(2^x＋1)]＋{a－1/[2^(－x)＋1]}＝0
[a－1/(2^x＋1)]＋[a－2^x/(2^x＋1)]＝0
∵2^x＋1≠0
∴2a－1＝0
∴a＝1/2
（2∵ 2^x+1为增函数
∴ 1/（2^x+1）为减函数
∴ a-1/（2^x+1）为增函数
∴ f（x）为增函数