Question

已知函数fx＝x/lnx+ax,x＞1 ⑴若fx在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围 ⑵若

已知函数fx＝x/lnx+ax,x＞1
⑴若fx在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围
⑵若a＝2，求函数fx的极小值

Answer 1

⑴f'(x)=(lnx-1)/ln²x+a

当x>1时，f'(x)恒大于0
令g(x)=(lnx-1)/ln²x+a x>1
g'(x)=[2-lnx]/x·ln³x
驻点：x₀=e²
1<x<x₀,g'(x)>0,g(x)单调递增，x>x₀,g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x₀)是最小值
∴g(x)≥(2-1)/4+a
∴当a>-1/4 时，g(x)恒大于0
即实数a的取值范围是a>-1/4
⑵a=2

驻点：(lnx-1)/ln²x+2=0
2ln²x+lnx-1=0
lnx=(-1±3)/4
∵x>1→lnx>0,
∴lnx=1/2
x₀=√e>1
∴f(x)的最小值=f(√e)=4√e

Answer 2

第一问，a≤-1/4
第二问，极小值4✔e
详见附图：

追答